運動方程式

目次

運動方程式を立てる

運動方程式は運動の法則に出てきた F=ma のこと.これによって,初期条件さえわかれば運動の全貌があきらかになるだろうってこと.これを使って物体の運動を明らかにしたいわけ.

運動方程式をたてるとは,着目した物体が着目した加速度の方向にもらっている外力の合力を,異なった次の観点から眺めて,それぞれ書き表し,これらを結びつける作業のこと.

  1. 運動の第2法則に基づいて着目物体の質量mと慣性系に対する着目する加速度aの積maが,合力として,着目している加速度aの向きに働いていなければならないはずという見方.
  2. 現実に着目した物体に働いている力は,着目方向の成分の和である.って見方.
  3. これらを合わせると,ma = f1 + f2 + f3 ・・・etc.

慣性力

慣性系に対して加速度aを持つ観測者Aが,現実の力Fが働いている質量mの物体Bについて,Aに対する相対加速度β’を用いて,正しい運動方程式を立てるようにする.

つまり,現実に働いている力F以外に,[見かけの力]-maを追加して,次のように mβ’ = F’ -ma って感じで式を立てるとよい.この見かけの力を慣性力と呼んでます.


慣性力については,慣性力(見かけの力)で解説.この力が発生する理由をとりあえず書いています.

遠心力

遠心力

円運動をしている物体と同じ円運動をしている観測者の立場で物体を観測する場合に,法線方向に設定する慣性力を遠心力という.

遠心力とつりあいの式

例えば,中心に向かう方向に糸の張力Tを受けて,半径rの円周上を速さvで円運動している質量mの物体があるとしましょう.この物体と同じ円運動している観測者の立場は向心方向に V2/rの加速度を持っている.そこで,観測者の立場で物体について運動方程式やつりあいの式を立てるには,向心方向とは逆にv2/rの加速度が働いているかのような「見かけの力」,つまり,遠心力 mv2/rを設定しないといけない.だから,T = mv2/rとなる.


この辺の記事は、回転する座標系(遠心力とコリオリ力)に記載しています。

フックの法則

フックの法則

弾性の限界内では,変形の大きさxは,外力Fに比例します.つまり,F = kxとなる.このときのkは弾性係数といいます.

バネ定数

バネの伸び,縮みの変形に関する弾性係数をバネ定数と言います.

バネ定数の単位

F = kxから,k = F/xなので,これを元に考えると,

[N/m] = [kg/s2] (または,[dyn/cm]=[g/s2])

フックの法則での増加量

バネの伸び縮みの増加量dxは,外力の増加量dFに比例する.そして,このときの比例定数は,バネ定数kがそのまま適用される.つまり,dF = k dx

弾性係数

同質の材料においては,伸びの弾性係数kは,断面積Sに比例し,長さlに反比例する.つまり,kはS/lに比例する.

バネ定数の合成

バネが固定点から直列につながっている場合 ----> 1/K = 1/k1 + 1/k2 + 1/k3・・・

バネが固定点から並列につながっている場合 ----> K = k1 + k2 + k3・・・


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